Pulsos de onda
Um pulso de onda é uma perturbação
que se propaga através de um meio. Uma onda pode ser mecânica
se ela se propaga em um meio material (como o som, ou a onda em uma corda),
ou não (como a luz, que é uma onda
eletromagnética, e que se propaga no vácuo).
Suponha que no tempo t = 0 o pulso seja descrito por uma função
no espaço na forma
y = f(x)
[10.1]
Se o pulso se propaga para a direita, sem se deformar, com velocidade constante
v, então após um tempo t a função
que descreve o pulso será dada por (veja a figura abaixo)
y = f(x - vt)
[10.2]
Assim, para sabermos se um pulso unidimensional se propaga como uma onda, basta
determinarmos se a forma desse pulso depende no espaço e no tempo no modo
y(x,t) = f(x - vt)
(pulso de onda movimentando-se para a direita)
[10.3]
Uma onda periódica é uma perturbação periódica
que se move através de um meio. O meio em si não vai a canto nenhum.
Os átomos individuais e as moléculas oscilam em torno das suas posições
de equilíbrio, mas a posição média delas não
se alteram. À medida que elas interagem com os vizinhos, elas transferem
parte da sua energia para elas. Por sua vez, os átomos vizinhos transferem
energia aos próximos vizinhos, em sequência. Desta maneira, a energia
é transportada através do meio, sem haver transporte de qualquer
matéria. Veja a animação abaixo, que descreve o meio por
uma série de partículas ligadas por molas.
Se o pulso viajar para a esquerda, a velocidade muda de v para -v,
e a forma do pulso de onda muda para
y(x,t) = f(x + vt)
(pulso de onda movimentando-se para a esquerda)
[10.4]
Ondas harmônicas Ondas periódicas são caracterizadas
por uma frequência, um comprimento de onda, e pela sua velocidade.
A frequência da onda, f, é a frequência de oscilação
dos átomos ou moléculas individuais. O período, T = 1
/ f, é o tempo que leva para um átomo ou molécula
particular passar por um ciclo completo de movimento. O comprimento de onda é
a distância, entre dois átomos, que oscilam em fase, ao longo da
direção de propagação.
Uma forma comum para as ondas periódicas é uma função
seno ou cosseno, também conhecidas como ondas harmônicas:
y(x,t) = ym sen[k(x + vt)] = ym sen[kx + kvt]
[10.5]
onde ym e k são constantes. ym
é a amplitude da onda, ou seja, o valor máximo que a "perturbação"
pode ter. Esta "perturbação" pode ser por exemplo, o deslocamento
vertical de uma onda se propagando em uma corda, ou seja, dos átomos e
moléculas que compõe a corda a partir da posição de
equilíbrio. O valor de k está relacionado com o comprimento
de onda, como veremos agora. Vamos verificar a forma da onda em um dado instante.
Seja t = 0, então y = ym sen(kx) = ym sen(kx+kl)
= ym sen(kx+2p), onde usamos que a onda se repete depois
de um comprimento l (comprimento de onda) , e que a função seno
se repete depois de uma variação de 2p. Logo,
temos que
k = 2p/l
[10.6]
O produto kv também possui uma relação com o período,
ou frequência, da onda. Definindo w = kv , temos que, para x
= 0, y = - ym sen(wt) = - ym sen(wt+wT)
= ym sen(wt+2p), onde usamos que a oscilação
em um dado ponto se repete a cada período T. Logo, temos que
w = 2p/T
[10.7]
Combinado estas relações, temos que a velocidade da onda, v,
pode ser expressa em termos dessas quantidades:
v = w / k = l/ T = l f
[10.8]
Esta relação é válida para qualquer onda periódica.
Problema:
Suponha que uma onda de água aproxima-se de um pier com velocidade de
1,5 m/s e um comprimento de onda de 2 m. Com que frequência a onda
atinge o pier? Solução:
f = v / l = (1.5 m/s) / (2m) = 0.75 /s = 0.75 Hz Problema:
Uma onda em uma corda é mostrada abaixo. Qual é o seu comprimento
de onda? Se a frequência for de 4 Hz, qual é a sua velocidade?
Solução:
O comprimento de onda l é 3m. A velocidade é v = l f
= 3m 4/s = 12 m/s. Ondas transversas e longitudinais Se o deslocamento
dos átomos ou moléculas for perpendicular à direção
em que a onda está viajando, a onda é chamada de onda transversa.
Se o deslocamento for paralelo à direção do movimento da
onda, ela é chamada de onda longitudinal ou de compressão.
Ondas trasnversas só podem ocorrer em sólido, enquanto que ondas
longitudinais em sólidos, líquidos e gases. O movimento transverso
requer que cada partícula arraste as partículas adjacentes às
quais ela está fortemente ligada. Em um fluido isto é impossível,
já que as partículas adjacentes podem se deslocar facilmente pelas
outras. O movimento longitudinal somente requer que cada partícula empurre
os seus vizinhos, o que pode aconteceer também em líquidos ou gases.
O fato de que ondas longitudinais originárias de um terremoto passam através
do centro da terra, enquanto que as ondas tranversas não passam, é
uma das razões de acreditarmos que a terra possui um núcleo líquido.
Interferência Duas ou mais ondas viajam no mesmo meio independentemente
e podem passar através da outra. Este é o chamado princípio
da superposição. Matematicamente
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)
(princípio da superposição)
[10.9]
Em regiões que elas podem se superpor sómente uma única perturbação.
Observamos uma intereferência. Se duas ondas com amplitudes iguais
se somam em fase, isto é, se os máximos se encontram, então
observamos uma onda com amplitude igual à soma das amplitudes das ondas
originais. Teremos uma interferência construtiva.
Se as duas ondas superpostas estiverem, no entanto, totalmente fora de fase,
isto é, se os máximos se encontram com os mínimos, as duas
ondas tendem a se cancelar. Teremos uma interferência destrutiva.
Para ondas harmônicas de mesma amplitude o princípio da superposição
fica na forma
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) = ym
[sen(kx - wt + f) + sen(kx - wt )]
[10.11]
Usando a relação
sen a + sen b = 2 sen [(a+b)/2] cos [(a-b)/2]
[10.12]
temos que
y(x,t) = [2ym cos(f/2)] sen(kx - wt +
f/2)
[10.13]
Logo, se a fase f = 0, a interferência é construtiva
enquanto que se a fase f = p, a interferência é destrutiva
Caso as amplitudes sejam diferentes a interferência é parcial.
Toda a discussão acima pode ser estendida para dimensões maiores.
Um caso clássico é a interferência de duas ondas circulares
em um tanque de água. Neste caso o padrão de interferência
resulta da superposição dos máximos e mínimos da onda
em determinados pontos, como mostra a figura abaixo.
Ondas estacionárias e harmônicos Se superpomos ondas iguais,
mas com velocidades opostas, obtemos ondas estacionárias. Isto pode ser
visto usando a equação [10.12], que neste caso fica
y(x,t) = ym sen(kx + wt) + ym sen(kx -
wt ) = [2ym sen(kx)] cos(wt)
[10.14]
Vemos portanto, que esta relação não é da forma
[10.3] ou [10.4], e que poortanto não descreve uma onda que se propaga.
Em cada ponto x, há uma vibração determinada pela
frequência angular [10.7]. Os pontos em que sen(kx) se anulam são
chamados de nós. Estes pontos são obtidos quando kx
= np, onde n = 0, 1, 2 ,... Logo, obtemos que eles acontecem
para
x = n l / 2
(nós)
[10.15]
enquanto que os anti-nós acontecem nas regiões intermediárias
aos nós (nos máximos dos sen(kx)), ou seja, para
x = (n+1/2) l / 2
(anti-nós)
[10.16]
Para cordas presas em dois pontos fixos (como as cordas de um violão),
podemos induzir ondas estacionárias (vibrações) onde os pontos
fixos serão necessariamente nós. Logo, temos que, se a corda possui
comprimento l, então os comprimentos de ondas possíveis são
obtidos da relação [10.15], substituindo x por l:
l = 2l / n
(comprimentos de ondas dos harmônicos)
[10.17]
onde n = 1, 2, 3, ... (note que o valor n = 0 não é físico
nesse caso - seria uma onda com comprimento de onda infinito, ou seja, onda nenhuma).
Estes são conhecidos como os comprimentos de ondas dos harmônicos
da corda. As vibrações da corda são transmitidas para as
moléculas de ar e, devido à propagação da perturbação,
chegam aos nossos ouvidos na forma de som. A frequência desses sons
pode ser obtida da relação acima, resultando em
f = v / l = n v / 2l
(frequências dos harmônicos)
[10.18]
Nas animações abaixo, obtida de "Multimedia Physics Studios", observamos
os trê primeiros harmônicos em uma corda ("nodes" é a palavra
inglesa para nós).
Reflexão e transmissão Ondas podem refletir em obstáculos.
Na figura abaixo vemos uma onda em uma corda incidindo sobre uma parede, onde
possui uma extremidade presa. A corda na parte da onda que chega à parede
exerce uma força para cima sobre a mesma. Pela terceira lei de Newton,
a parede exerce uma força igual e para baixo sobre a corda, invertendo
a amplitude da onda, e enviando para trás um pulso igual e invertido.
Se a corda não estiver presa à parede o pulso retorna a partir do
extremo aberto, mas não há inversão do mesmo, pois não
existe força exercida neste extremo. Veja a figura abaixo.
Quando a onda passa de um meio a outro, uma parte da mesma é refletida
enquanto que outra parte é transmitida. Veja a figura abaixo. A onda refletida
pode interferir com a onda incidente resultando numa forma de interferência
complicada e confusa.
Raios e frentes de onda É comum adotarmos a notação
"raio" para a direção em que a onda se propaga. Este conceito
é mais útil em dimensões maiores: por exemplo, com ondas
em um tanque de água. Como vemos na figura abaixo, os raios estão
em orientações diferentes no espaço, dependendo da direção
de observação da onda. Os máximos e mínimos de onda
formam um lugar comum, chamados de frentes de onda.
Em algumas situações vários raios são perpendiculares
à várias frentes de onda. Isto acontece com as ondas de água,
por exemplo, quando se está observando a onda a uma distância
muito grande da sua origem (fonte). Uma onda em que todos os raios são
perpendiculares às frentes de onda, são conhecidadas como ondas
planas.
O conceito de raios e de frente de onda são muito importantes. Por exemplo,
eles são úteis na descrição da geometria das reflexões
de onda em superfícies, como vemos na figura abaixo.
Velocidade da onda em função das propriedades do meio A velocidade
da onda em um meio depende das suas propriedades. Vamos dar um exemplo. Suponha
que tenhamos uma corda de massa por unidade de comprimento m, que esteja esticada
por uma força de tensão t. Se uma onda se propaga na corda, um pequeno
elemento da corda é mostrado na figura abaixo.
Este elemento, de comprimento Dl, na parte mais elevada da onda, está
sujeito à tensão da corda nos dois sentidos de propagação
da onda. Podemos desenhar um círculo de raio r, em que r
é a amplitude da onda. Este elemento da corda, considerado bem pequeno,
está num dos lados de um triângulo cujo ângulo oposto é
dado por q. Instantaneamente, é como se este elemento de corda estivesse
se movimentando em uma trajetória circular de raio r, com velocidade
v; a velocidade da corda. Logo, é como ele estivesse sujeito à
uma força centrípeta dada por F = Dm v2 / r
= (Dm l) v2 / r. Esta força resulta da componente
das tensões no sentido para o centro do círculo. Logo, F = 2t
sen (q/2) ~ tq, onde usamos o fato do ângulo q ser muito
menor que a unidade: logo, sen (q/2) ~ q/2. Como, q ~ Dl
/ r, temos que F ~ t Dl / r. Igualando estes dois resultados,
temos que
t Dl / r = (Dm l) v2 / r
[10.19]
Ou seja,
v = (t / m)1/2
[10.20]
Obtemos então o resultado desejado; ou seja, a velocidade de uma onda na
corda em função das propriedades da corda: sua tensão e sua
densidade linear. Quanto menor (maior) a densidade linear ( a tensão) da
corda, maior será a velocidade da onda. Este resultado é válido
para qualquer comprimento de onda, ou frequência da onda. Análise
de Fourier e dispersão Nem sempre obtemos resultados assim. Frequentemente,
ondas se propagam em meios materiais com velocidade diferentes para frequências
diferentes. Isto é importante, pois leva ao fenômeno de dispersão.
Para entender este fenômeno, vamos considerar ondas de forma qualquer. Por
exemplo, vamos considerar um pulso de forma arbitrária em uma corda. Esse
pulso pode ser descrito por uma função f(x) para um dado
instante de tempo. Pode-se mostrar que qualquer função uni-dimensional
pode ser descrita por uma série de senos e de cossenos. Matematicamente,
dizemos que as funções seno e cosseno formam uma base
completa de funções. Logo, para qualquer f(x), temos
que
[10.21]
onde an , bn , e kn são
coeficientes que dependem da forma da função f(x). No momento
não nos interessa como obtemos estes valores. O que nos interessa é
que kn está associado a um comprimento de onda ln
= 2p / kn. Logo, é como se o pulso pudesse ser descrito
por uma soma de ondas harmônicas. A equação acima é
conhecida como análise de Fourier do pulso de onda. Um exemplo simples
de análise de Fourier pode ser dada para uma função
na forma de uma função serra (veja a figura abaixo).
Pode-se mostrar que neste caso an = 0, e bn =
2 (-1)n+1 / n. Ou seja, a função acima pode ser descrita,
até os termos de ondem n = k (nota: k aqui não
é numero de onda, mas apenas um número inteiro), pela série
[10.22]
Dependendo onde paramos a série, ou seja, em qual número k
paramos a série, a reprodução da função pela
série [10.22], fica melhor e melhor. Vemos isso nas figuras abaixo para
k = 4, 8, 16.
Se quisermos descrever uma onda que se propaga no tempo, temos que inserir o termo
wt em cada seno, ou cosseno da expansão. E como w
está relacionado com k por meio da velocidade, temos que a forma
final da onda será
[10.23]
para uma onda que se propaga para a direita, com v = wn /
kn. A análise acima pode ser extendida para ondas em dimensões
maiores, e para qualquer meio. O fenômeno de dispersão ocorre quando
a onda penetra em uma região do material em que a velocidade da onda depende
da frequência, ou do comprimento de onda. Neste caso, como cada onda
da soma em [10.23] possui um comprimento de onda distinto, e
como o comprimento de onda vn = wn/ kn
depende de n, cada componente de Fourier da soma [10.23]
se propagará com velocidade diferente. O pulso se deforma, já que
os argumentos dos senos e cossenos variam com o tempo de formas
distintas para cada onda harmônica correspondente. Em outras palavras, quando
as velocidades de cada onda harmônica é a mesma, a forma do pulso
se mantém no tempo. Ele é a mesma função f(x)
no tempo t = 0, porém deslocado de vt. Mas, quando as velocidades
variam, algumas componentes viajam mais rápidamente, outras mais lentamente,
carregando partes do pulso para frente e para trás do mesmo. Logo, o pulso
se dispersa, se deforma. Energia e potência carregada por uma onda
Uma onda é uma perturbaçãoque se propaga em um meio. Essa
perturbação está associada a uma energia local. Por exemplo,
em uma corda ela é a energia de oscilação vertical dos átomos
e moléculas. Logo, devido à propagação, essa energia
passa de um ponto a outro no espaço. A energia por unidade de tempo carregada
por uma onda, ou potência, pode ser mias facilmente calculada no caso de
ondas em cordas. Suponha que tomemos um elemento de corda com massa Dm
= Dm l. Este elemento vibra para cima e para baixo com uma energia
cinética dada por dK =Dm u2 / 2, onde u
é a velocidade desse elemento na direção vertical. Ela pode
ser calculada usando-se a uquação
u = dy/dt = wym cos (kx + wt)
[10.24]
de modo que
dK = (m dx / 2) (wym)2
cos2 (kx + wt)
[10.25]
Dividindo por dt, e usando dx/dt = v, obtemos
dK/dt = (m v w2ym2 / 2)
cos2 (kx + wt)
[10.26]
Este é o valor da energia de um dado elemento da corda. Para calcularmos
a energia total carregada pela onda por unidade de tempo precisamos fazer uma
média de todos os elementos de volume ao longo de um comprimento de onda,
ou, equivalentemente, ao longo de um período da onda. Isto significa que
precisamos tomar uma média da função cos2 (kx
+ wt) ao longo de um comprimento de onda, ou de um período,
já que esta é a única parte de [10.26] que depende
da posição ou tempo. Usamos então a relação
matemática
(valor médio de cos2 )
[10.27]
Logo, o valor médio da energia cinética carregada pela onda é
dada por
< dK/dt >médio = m v w2ym2
/ 4
[10.28]
onde < >médio significa o mesmo que a barra, denotando valor
médio. A onda não carrega apenas energia cinética. Quando
os átomos ou as moléculas se deslocam da posição de
equilíbrio eles estão sob a atuação de forças
restauradoras (a tensão, no caso da corda) que estão associadas
à energias potenciais. Logo, a onda também carrega energia potencial.
Pode-se mostrar que o valor médio da energia potencial é igual ao
valor médio da energia cinética. Isto parece razoável, já
que as duas energias se revezam, uma se transformando na outra, ao longo da propagação.
Como a energia total é a soma das energias cinéticas e potencial,
chegamos à conclusão de que a potência total carregada pela
onda é dada por
P = 2 < dK/dt >médio = m v w2ym2
/ 2
[10.29]
Este resultado mostra que a energia carregada por uma onda é proporcional
ao quadrado da frequência e ao quadrado da amplitude das oscilações.
Multiplicando pela velocidade com que essa energia é carregada, obtemos
a potência carregada pela onda, descrita pela equação
[10.29].
Projeto: Ensino de Física a distância
Desenvolvido por: Carlos
Bertulani Nota: Preparado por C.A. Bertulani para o projeto de Ensino de Física a Distância
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